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  3. （2004年真题）f(x)为连续函数，且∫0πf(xsinx)sinxdx=1，则∫0πf(xsinx)xcosxdx=[ ]。

（2004年真题）f(x)为连续函数，且∫0πf(xsinx)sinxdx=1，则∫0πf(xsinx)xcosxdx=[ ]。

admin2015-04-14  66
问题 （2004年真题）f(x)为连续函数，且∫0πf(xsinx)sinxdx=1，则∫0πf(xsinx)xcosxdx=[     ]。
选项 A、0
B、1
C、-1
D、π
答案C
解析 本题考查牛顿-莱布尼茨公式及微分法则。
解法1
设f(x)的一个原函数是F(x)，则
∫0πf(xsinx)d(xsinx)F(xsinx)|0π=0，0=∫0πf(xsinx)d(xsinx)=∫0πf(xsinx)[sinxdx+xcosxdx]=∫0πf(zsinx)sinxdx+∫0πf(xsinx)xcosxdx=1+∫0πf(xsinx)xcosxdx，
所以∫0πf(xsinx)xcosxdx=-1。
故正确选项为C。
解法2
特殊值代入法。注意到∫0πsinxdx=-cos|0π=2，取f(xsinx)=，则∫0πf(xsinx)sinxdx=1。这时故正确选项为C。
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