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（2004年真题）f(x)为连续函数，且∫0πf(xsinx)sinxdx=1，则∫0πf(xsinx)xcosxdx=[ ]。
（2004年真题）f(x)为连续函数，且∫0πf(xsinx)sinxdx=1，则∫0πf(xsinx)xcosxdx=[ ]。
admin
2015-04-14
59
问题
（2004年真题）f(x)为连续函数，且∫
0
π
f(xsinx)sinxdx=1，则∫
0
π
f(xsinx)xcosxdx=[ ]。
选项
A、0
B、1
C、-1
D、π
答案
C
解析
本题考查牛顿-莱布尼茨公式及微分法则。
解法1
设f(x)的一个原函数是F(x)，则
∫
0
π
f(xsinx)d(xsinx)F(xsinx)|
0
π
=0，0=∫
0
π
f(xsinx)d(xsinx)=∫
0
π
f(xsinx)[sinxdx+xcosxdx]=∫
0
π
f(zsinx)sinxdx+∫
0
π
f(xsinx)xcosxdx=1+∫
0
π
f(xsinx)xcosxdx，
所以∫
0
π
f(xsinx)xcosxdx=-1。
故正确选项为C。
解法2
特殊值代入法。注意到∫
0
π
sinxdx=-cos|
0
π
=2，取f(xsinx)=
，则∫
0
π
f(xsinx)sinxdx=1。这时
故正确选项为C。
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GCT工程硕士（数学）题库专业硕士分类
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GCT工程硕士（数学）
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