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  3. 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (I)U＝XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V＝｜X—Y｜的概率密度fV(v)．

设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (I)U＝XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V＝｜X—Y｜的概率密度fV(v)．

admin2017-08-18  31
问题 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(I)U＝XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V＝｜X—Y｜的概率密度fV(v)．
选项
答案(I)方法1。分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度 [*] 所以U＝XY的分布函数为(如图3．3) FU(u)＝P{XY≤u}＝[*]f(x，y)dxdy． 当u≤0时，FU(u)＝0；当u≥1时，FU(u)＝1；当0＜u＜1时， [*] [*] (Ⅱ)方法1。分布函数法．由题设知 [*] 所以V＝｜X—Y｜的分布函数FV(v)＝P{｜X—Y｜≤v}． 当v≤0时，FV(v)＝0；当v>0时， FV(v)＝P{｜X—Y｜≤v}＝P{一v≤X—Y≤v} ＝[*]f(x，y)dxdy． 由图3．4知，当v≥1时，FV(v)＝1；当0V(v)＝[*]f(x，y)dxdy＝[*]f(x，y)dxdy＝D的面积 ＝1—2×[*]×(1一v)2＝1一(1一v)2， 其中D＝{(x，y)：0≤x≤1，0≤y≤1，｜x—y｜≤v}． [*]
解析
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考研数学一

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