2. 考研
  3. 设n阶矩阵A，B满足AB＝aA＋bB．其中ab≠0，证明 (1)A－bE和B－aE都可逆． (2)AB＝BA．

设n阶矩阵A，B满足AB＝aA＋bB．其中ab≠0，证明 (1)A－bE和B－aE都可逆． (2)AB＝BA．

admin2016-10-21  42
问题 设n阶矩阵A，B满足AB＝aA＋bB．其中ab≠0，证明
    (1)A－bE和B－aE都可逆．
    (2)AB＝BA．
选项
答案(1)A－bE和B－aE都可逆[*](A－bE)(B－aE)可逆．直接计算(A－bE)(B－AE)． (A－bE)(B－aE)＝AB－aA－bB＋abE＝abE． 因为ab≠0，得(A－bE)(B－aE)可逆． (2)利用等式(A－bE)(B－aE)＝abE，两边除以ab，得 [*] 再两边乘ab，得(B－aE)(A－bE)＝abE，即 BA－aA－bB＋abE＝abE． BA＝aA＋bB＝AB．
解析
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考研数学二

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