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一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为Pn．请写出Pn的递推关系式，并求Pn．
一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为Pn．请写出Pn的递推关系式，并求Pn．
admin
2018-01-28
8
问题
一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为P
n
．请写出P
n
的递推关系式，并求P
n
．
选项
答案
由甲、乙等5个人参加相互传球游戏，经过n次传球，则有4
n
种传球方法，假设球在甲手中的传球方法有a
n
种，球不在甲手中的传球方法有b
n
种，则a
n
+b
n
=4
n
． 第n一1次传球后，如果球在甲的手中，则第n次传球后，球一定不在甲的手中，此时球从甲手中传出去有4种可能．第n一1次传球后，如果球不在甲的手中，则第n次传球后，球有可能传到甲的手中．经过n次传球后，如果球传到甲的手中，则可知第n次传球的方向是确定的(一定是传向甲)．所以第n次传球后球在甲手中的传球方法a
n
等于第，n—1次传球后球不在甲手中的方法b
n-1
．又由a
n
+b
n
=4
n
可推出a
n-1
+b
n-1
=4
n－1
，所以a
n-1
+a
n
=4
n－1
．此式子变形后为：[*]因为开始时球在甲手中，所以第一次传球后，球在甲手中的方法a
1
=0．由此可得：[*]公比为一1的等比数列．由此可知[*] 故[*] 因为总的传球方法是4
n
种，所以第n次传球后，球在甲手中的概率[*] 递推关系式： [*]
解析
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