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设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)
设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(χ)dχ＝(b－a)ff〞(ξ)
admin
2019-08-23
67
问题
设f(χ)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫
a
b
f(χ)dχ＝(b－a)f
f〞(ξ)
选项
答案
令F(χ)＝∫
a
χ
f(t)dt，则F(χ)在[a，b]上三阶连续可导，取χ
0
＝[*]，由泰勒公式得 F(a)＝F(χ
0
)＋F′(χ
0
)(a－χ
0
)＋[*](a－χ
0
)
2
＋[*](a－χ
0
)
3
，ξ
1
∈(a，χ
0
)， F(b)＝F(χ
0
)＋F′(χ
0
)(b－χ
0
)＋[*](b－χ
0
)
2
＋[*](b－χ
0
)
3
，ξ
2
∈(χ
0
，b)， 两式相减得F(b)－F(a)＝F′(χ
0
)(b－a)＋[*][F″′(ξ
1
)＋F″′(ξ
2
)]，即 ∫
a
b
f(χ)dχ＝(b－a)f[*][f〞(ξ
1
)＋f〞(ξ
2
)]， 因为f〞(χ)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ
1
，ξ
2
][*](a，b)，使得 f〞(ξ)＝[*][f〞(ξ
1
)＋f〞(ξ
2
)]，从而 ∫
a
b
f(χ)dχ＝(b－a)f[*]f〞(ξ)．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6oA4777K
0
考研数学二
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