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设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,一e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32,其中P=(e1,e2,e3).若Q=(e1,一e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
admin
2021-01-19
65
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)在正交变换x=Py下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
,其中P=(e
1
,e
2
,e
3
).若Q=(e
1
,一e
3
,e
2
),则f(x
1
,x
2
,x
3
)在正交变换x=Qy下的标准形为
选项
A、2y
1
2
一y
2
2
+ y
3
2
B、2y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
C、2y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
D、2y
1
2
+y
2
2
+y
1
2
答案
A
解析
设二次型的矩阵为A,则由题意知矩阵P的列向量e
1
,e
2
,e
3
是矩阵A的标准正交的特征向量,对应的特征值依次是2,1,一1.即有
Ae
1
=2e
1
,Ae
2
=2e
2
,Ae
3
=2e
3
从而有
AQ=A(e
1
,一e
3
,e
2
)=(Ae
1
,一 Ae
3
9Ae
2
)=(2e
1
,一(一e
3
),e
2
)
=(e
1
, 一 e
3
,e
2
)
矩阵Q的列向量e
1
,一e
3
,e
2
仍是A的标准正交的特征向量,对应的特征值依次是2,一1,1.矩阵Q是正交矩阵,有Q
一1
=Q
T
,上式两端左乘Q
一1
,得
Q
一1
AQ= Q
T
AQ=
从而知f在正交变换x=Py下的标准形为f=2y
1
2
一y
2
2
+y
3
2
.于是选(A).
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考研数学二
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