2. 公务员
  3. 过抛物线E：x2=2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l． 若点M到直线l的距离的最小

过抛物线E：x2=2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l． 若点M到直线l的距离的最小

admin2019-08-05  23
问题 过抛物线E：x2=2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l．
若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
选项
答案由抛物线的定义得：[*]，所以｜AB｜=y1+y2+p=2pk12+2p． 从而圆M的半径r1=pk12+p，故圆M的方程为(x—pk1)2+(y—pk12一[*])=(pk12+p)2． 化简得x2+y2一2pk1x－p(2k12+1)y一[*]p2=0． 同理可得圆N的方程为x2+y2一2pk2x—p(2k22+1)y一[*]p2=0． 于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2一k1)x+(k22一k12)y=0． 又因为k2－k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离d=[*]． 由题设，[*]， 解得：p=8．故所求的抛物线E的方程为x2=16y．
解析
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