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过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l. 若点M到直线l的距离的最小
过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l. 若点M到直线l的距离的最小
admin
2019-08-05
21
问题
过抛物线E:x
2
=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k
1
,k
2
的两条不同直线l
1
,l
2
,且k
1
+k
2
=2,l
1
与E相交于点A,B,l
2
与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
若点M到直线l的距离的最小值为
,求抛物线E的方程.
选项
答案
由抛物线的定义得:[*],所以|AB|=y
1
+y
2
+p=2pk
1
2
+2p. 从而圆M的半径r
1
=pk
1
2
+p,故圆M的方程为(x—pk
1
)
2
+(y—pk
1
2
一[*])=(pk
1
2
+p)
2
. 化简得x
2
+y
2
一2pk
1
x-p(2k
1
2
+1)y一[*]p
2
=0. 同理可得圆N的方程为x
2
+y
2
一2pk
2
x—p(2k
2
2
+1)y一[*]p
2
=0. 于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为(k
2
一k
1
)x+(k
2
2
一k
1
2
)y=0. 又因为k
2
-k
1
≠0,k
1
+k
2
=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点M到直线l的距离d=[*]. 由题设,[*], 解得:p=8.故所求的抛物线E的方程为x
2
=16y.
解析
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