对右半空间x＞0内的任意光滑有侧封闭曲面∑，有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0，其中f(x)在(0，+∞)内具有一阶连续的偏导数，且f(0+0)=1，求f(x)．

admin2018-05-23 82

问题对右半空间x＞0内的任意光滑有侧封闭曲面∑，有

xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e^2xzdxdy=0，其中f(x)在(0，+∞)内具有一阶连续的偏导数，且f(0+0)=1，求f(x)．

选项

答案由高斯公式得 [*]xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e^2xzdxdy=±[*][xf^’(x)+(1一x)f(x)一e^2x]dν=0，当曲面∑法向量指向外侧时取正号，当曲面∑的法向量指向内侧时取负号．由∑的任意性得 xf^’(x)+(1一x)f(x)一e^2x=0(x＞O)，或者f^’(x)+[*]，则f(x[*] 因为[*](e^2x＋Ce^x)=0，从而C=－1，于是f(x)=[*](e^x－1)．

解析

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