设矩阵，矩阵B=(μE+A)n，其中μ是实数，E是单位阵．求对角阵Λ，使B~Λ，并讨论B的正定性．

admin2019-08-11 44

问题设矩阵

，矩阵B=(μE+A)ⁿ，其中μ是实数，E是单位阵．求对角阵Λ，使B~Λ，并讨论B的正定性．

选项

答案由[*]=(λ+2)[(λ－1)²－1]=(λ+2)λ(λ－2)，知A有特征值λ₁=－2，λ₁=0，λ₃=2．由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值)，故[*]，且存在正交矩阵P，使得P^－1AP=Λ₁故A=PΛ₁P^－1，代入矩阵B，有 B=(μE+A)ⁿ=(μP^－1+PΛ₁P^－1)ⁿ =[P(μE+Λ₁)P^－1]ⁿ=p(μE+Λ₁)ⁿP^－1 [*] 当n=2k(k=0，1，2，…)且μ≠0，μ≠0，μ≠－2时，Λ正定，则B正定；当n=2k+1(k=0，1，2，…)且μ>2时，Λ正定，则B正定．

解析

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考研数学二

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A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=－2的特征向量是ξ3．证明任意三维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．
(1)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．证明AB和BA有相同的特征值，且AB~BA；(2)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请同是否必有AB~BA?说明理由．
设A3×3=(α1，α2，α3)，方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，其中k是任意常数．证明：方程组(α1，α2)x=β有唯一解，并求该解；
设当x∈[－1，1]时，f(x)连续，F(x)=∫－11|x－t|f(t)dt，x∈[－1，1]．若f(x)>0(－1≤x≤1)，证明曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．
(02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py’+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限．
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假如本案在开庭审理前一天，原告李一伦心脏病突发而住院治疗，则本案应当：假如本案在开庭审理时，被告张小兰、张亦兰经传票传唤无正当理由不到庭，反诉的撤诉请求被人民法院裁定驳回后，则本案可以：
除了材料的要求外，地毯的主控项目还有（）。
在图4－74中，将圆环的惯性力系向O点简化，其主矢F1和主矩MIO的数值为()。
下列各项中,()不属于抗税行为。
在公司盈利丰厚的条件下，普通股股息会低于优先股股息。()
()是旅游景区做大做强、扩大产业影响力的重要战略方向。
决定具有制约性的特点，其“制约性”主要指的是()

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