设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程Ax=B有解的充要条件是r(A)=r(A | B)．

admin2019-07-19 47

问题设A、B的行数都是m，证明：矩阵方程Ax=B有解的充要条件是r(A)=r(A | B)．

选项

答案设矩阵A、X、B按列分块分别为：A=[α₁ … α_n]，X=[x₁ … x_n]，B=[b₁ … b_n]，则Ax=B[*][Ax₁ … Ax_p]=[b₁ … b_p][*]向量b_j可由A的列向量组线性表示[*]矩阵A=[α₁ … α_n]与矩阵[A | B]=[α₁ … α_n｜b₁ … b_n]的列向量组等价[*]r(A)=r[A |B]．以上用到了：等价的向量组必同秩；反之，若向量组(I)与(Ⅱ)同秩，且(I)可由(Ⅱ)线性表示，则(I)与(II)等价．

解析

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考研数学一

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