设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值，且其重数至少是．

admin2019-05-12 64

问题设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值__________，且其重数至少是__________．

选项

答案λ=0 n—r(A)

解析 r(A)＜n

｜A｜=0

λ=0必是A的特征值．
由r(A)＜n

Ax=0有非0解．设η₁，η₂，…，η_n－r(A)是Ax=0的基础解系，则Aη_j=0=0η_j，即λ=0是矩阵A的特征值，η_j(j=1，2，…，n—r(A))是λ=0的特征向量．
因此λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量．从而λ=0至少是矩阵A的n—r(A)重特征值．
注意：k重特征值至多有k个线性无关的特征向量．

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