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[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
admin
2019-05-10
65
问题
[2009年] 设y=y(x)是区间(一π,π)内过点(-π/√2,π/√2)的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0,求函数y(x)的表达式.
选项
答案
y(x)在两个区间(一π,0)与[0,π]上满足的条件不同,先分别求出y(x)在这两区间上满足的微分方程及其通解,再由y(x)在x=0处的连续性、可导性求出待定常数. (1)对(-π,0)上的曲线求出特解,先求出曲线的方程.由于曲线上任一点处的法线都过原点,曲线的法线为y=-x/y′,即ydy=一xdx,积分得曲线方程 y
2
=一x
2
+C. ① 又利用初始条件y(一π/√2)一π/√2求其特解.将其代入方程①得C=π
2
,从而有x
2
+y
2
=π
2
, 故y=[*](该分支由过点(一π/√2,π/√2)所确定). (2)再求区间(0,π)内曲线的分支,为此求出y"+y+x=0的特解.易知y"+y=0的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinax. 设 y"+y+x=0 ② 的特解为y
*
=ax+b,将其代入式②得到a=一1,b=0,故y
*
=-x,所以方程②的通解为 y=Y+y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx一x. ③ (3)利用y(x)的光滑性,求出式③中的任意常数. 下面求③中的任意常数,由于y=y(x)在(一π,π)内光滑,故y在x=0处连续、可导.由其连续性有y
-
(0)=y
+
(0),故C
1
=π.又由可导性得y′
-
(0)=y′
+
(0),而y′
-
(0)=([*])′∣
x=0
=0,y′
+
(0)=(一C
1
sinx+C
2
cosx-1)∣
x=0
=C
2
—1, 故C
2
一1=0,即C
2
=1,于是y=y(x)的表达式为 [*]
解析
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考研数学二
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