设x≥0，n为正整数，证明：f(x)=(t一t2)sin2ntdt的最大值不超过

admin2016-03-02 42

问题设x≥0，n为正整数，证明：f(x)=

(t一t²)sin²ⁿtdt的最大值不超过

选项

答案∵f(x)=[*](t—t²)sin²ⁿtdt，x∈[0，+∞)，n∈N^＋ ∴f′(x)=(x－x²)sin²ⁿx=－x(x－1)sin²ⁿx，令f′(x)=0，得驻点为x=0，x=1，x=kπ(k∈Z且k≠0) 当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0， ∴f(x)在x=0处取得极小值，在x=1处取得极大值，在x=kπ(k∈z且k≠0)不取极值，且极大值f(1)是最大值．又∵f(1)=[*](t一t²)sin²ⁿtdt≤[*](t一t²)t²ⁿdt 而[*] ∴f(1)≤[*]，即f(x)=[*](t一t²)sin²ⁿtdt的最大值不超过[*]

解析

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