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(1998年试题,五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解
(1998年试题,五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解
admin
2019-04-17
66
问题
(1998年试题,五)利用代换
y
’’
cosx一2y
’
sinx+3ycosx=e
x
化简,并求出原方程的通解
选项
答案
题设所给方程为变系数方程,可由代换[*]将其化为关于u的二阶微分方程再求解,应先由[*]求得y
’
,y
’’
与u
’
,u
’’
的关系如下,将y=usecx两边对x求导,得y
’
=u
’
8ecx+secx.tanx,(1)再由(1)式两边对x求导,得y
’’
=u
’’
secx+2u
’
se
’
cx.tanx+usecx.tan
2
x+usec
3
x(2)将式(1),式(2)代入原方程,得u
’’
+4u=e
x
,该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程,先求其相应的齐次方程的通解,由特征方程λ
2
+4=0求得特征值为λ
1
=2i,λ
2
=一2i,从而齐次方程通解为y=C
1
cos2x+C
2
sin2x,设方程特解为y
*
=Ae
x
,代回方程u
’’
+4u=e
x
,得[*]因此[*],因此非齐次方程通解为[*]其中C
1
,C
2
为任意常数.由代换[*]原方程通解为[*]
解析
本题在化简原方程时,也可由代换u=ycosx两边对x求导,得u
’
=y
’
cosx—ysinx,(3)再由式(3)两边对x求导,得u
’’
=y
’’
cosx一2y
’
sinx—ycosx(4)式(3),式(4)与式(1),式(2)是等价的,代入原方程都可得出同样的方程u
’’
+4u=e
x
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