(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

admin2019-04-17 90

问题 (1998年试题，五)利用代换

y^’’cosx一2y^’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解

选项

答案题设所给方程为变系数方程，可由代换[*]将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由[*]求得y^’，y^’’与u^’，u^’’的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y^’=u^’8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y^’’=u^’’secx+2u^’se^’cx.tanx+usecx.tan²x+usec³x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u^’’+4u=e^x，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ²+4=0求得特征值为λ₁=2i，λ₂=一2i，从而齐次方程通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x，设方程特解为y^*=Ae^x，代回方程u^’’+4u=e^x，得[*]因此[*]，因此非齐次方程通解为[*]其中C₁，C₂为任意常数．由代换[*]原方程通解为[*]

解析本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u^’=y^’cosx—ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u^’’=y^’’cosx一2y^’sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u^’’+4u=e^x

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考研数学二

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(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

考研数学二

说明下列事实的几何意义：(Ⅰ)函数f(χ)，g(χ)在点χ＝χ0处可导，且f(χ0)＝g(χ0)，f′(χ0)＝g′(χ0)；(Ⅱ)函数)y＝f(χ)在点χ＝χ0处连续，且有＝∞．

设其中f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=f’(0)=1。a、b为何值时，g(x)在x=0处连续。

设奇函数f(x)在[一1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；

设矩阵A=相似于对角矩阵．(1)求a的值；(2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

设实对称矩阵A满足A2—3A+2E=0，证明：A为正定矩阵．

设f(x)=在点x=0处连续，则常数a=________．

求不定积分∫cos(lnχ)dχ．

设a1＝1，an+1＋＝0，证明：数列{an}收敛，并求．

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B＝(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

－1／6方法一：本题为0／0未定型极限的求解，利用洛必达法则即可。方法二：泰勒公式。

领导者履行职责、实施有效领导、建立威望的基础是

负荷较大的车间和站房，宜设()型式。

事故调查组在查明事故情况以后，如果对事故的分析和事故责任者的处理不能取得一致的意见，(　　)有权提出结论性意见。

港航工程≤C40有抗冻要求混凝土，其细骨料总含泥量(以重量百分比计)的限值是()。

费用是指企业日常活动中形成的、会导致所有者权益增加的、与所有者投入资本无关的经济利益的总流出。()

演员：导演

2017年6月17日，俞正声在厦门会见了出席第九届海峡论坛的部分两岸嘉宾和主办单位代表。俞正声指出，两岸关系和平发展符合两岸同胞共同心愿和利益，是一条正确道路。坚持两岸关系和平发展正确方向，关键是

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A、Becauseshefeelsveryhotintheroom.B、Becauseshewantstoavoidmeetingpeople.C、Becauseshewantstosmokeacigarette

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设其中f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=f’(0)=1。a、b为何值时，g(x)在x=0处连续。

设奇函数f(x)在[一1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；

设矩阵A=相似于对角矩阵．(1)求a的值；(2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

设实对称矩阵A满足A2—3A+2E=0，证明：A为正定矩阵．

设f(x)=在点x=0处连续，则常数a=________．

求不定积分∫cos(lnχ)dχ．

设a1＝1，an+1＋＝0，证明：数列{an}收敛，并求．

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B＝(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

－1／6方法一：本题为0／0未定型极限的求解，利用洛必达法则即可。方法二：泰勒公式。

领导者履行职责、实施有效领导、建立威望的基础是

负荷较大的车间和站房，宜设()型式。

事故调查组在查明事故情况以后，如果对事故的分析和事故责任者的处理不能取得一致的意见，( )有权提出结论性意见。

港航工程≤C40有抗冻要求混凝土，其细骨料总含泥量(以重量百分比计)的限值是()。

费用是指企业日常活动中形成的、会导致所有者权益增加的、与所有者投入资本无关的经济利益的总流出。()

演员：导演

2017年6月17日，俞正声在厦门会见了出席第九届海峡论坛的部分两岸嘉宾和主办单位代表。俞正声指出，两岸关系和平发展符合两岸同胞共同心愿和利益，是一条正确道路。坚持两岸关系和平发展正确方向，关键是

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事故调查组在查明事故情况以后，如果对事故的分析和事故责任者的处理不能取得一致的意见，(　　)有权提出结论性意见。