(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

admin2019-04-17 63

问题 (1998年试题，五)利用代换

y^’’cosx一2y^’sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解

选项

答案题设所给方程为变系数方程，可由代换[*]将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由[*]求得y^’，y^’’与u^’，u^’’的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y^’=u^’8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y^’’=u^’’secx+2u^’se^’cx.tanx+usecx.tan²x+usec³x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u^’’+4u=e^x，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ²+4=0求得特征值为λ₁=2i，λ₂=一2i，从而齐次方程通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x，设方程特解为y^*=Ae^x，代回方程u^’’+4u=e^x，得[*]因此[*]，因此非齐次方程通解为[*]其中C₁，C₂为任意常数．由代换[*]原方程通解为[*]

解析本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u^’=y^’cosx—ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u^’’=y^’’cosx一2y^’sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u^’’+4u=e^x

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考研数学二

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