设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有｜f(χ)－f(y)｜≤M ｜χ－y｜k． (1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续； (2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．

admin2018-11-11 59

问题设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有｜f(χ)－f(y)｜≤M ｜χ－y｜^k．
(1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续；
(2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．

选项

答案(1)对任意的χ₀∈[a，b]，由已知条件得 0≤｜f(χ)－f(χ₀)｜≤M｜χ－χ₀｜^k，[*]f(χ)＝f(χ₀)，再由χ₀的任意性得f(χ)在[a，b]上连续． (2)对任意的χ₀∈[a，b]，因为k＞1，所以0≤[*]M ｜χ－χ₀｜^k-1，由夹逼定理得f′(χ₀)＝0，因为χ₀是任意一点，所以f′(χ)≡0，故f(χ)≡常数．

解析

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考研数学二

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