计算二重积分sin(x2+y2)dxdy，其中积分区域D={(x，y}｜x2+y2≤π}．

admin2017-05-31 39

问题计算二重积分

sin(x²+y²)dxdy，其中积分区域D={(x，y}｜x²+y²≤π}．

选项

答案作极坐标变换，x=rcosθ，y=rsinθ，则[*]令t=r²，则I=πe^π ∫₀^πe^－tsintdt．再令∫₀^πe^－tsintdt=A，则A=－∫₀^πsint(e^－t)=－( e^－tsint｜₀^π—∫₀^π e^－tcostdt)=－ ∫₀^πcostd(e^－t)=－( e^－tcost｜₀^π+∫₀^π e^－tsintdt)= e^－π+1－A．

解析因为被积函数f(x，y)含有x²+y²，且积分区域D为圆，应选用极坐标系计算二重积分．

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