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(2011年)(I)证明:对任意的正整数n,都有成立; (Ⅱ)设证明数列{an}收敛。
(2011年)(I)证明:对任意的正整数n,都有成立; (Ⅱ)设证明数列{an}收敛。
admin
2021-01-15
24
问题
(2011年)(I)证明:对任意的正整数n,都有
成立;
(Ⅱ)设
证明数列{a
n
}收敛。
选项
答案
(I)方法一:将式中的[*]看成x,不等式就变成了[*] 令f(x)=x一ln(1+x),由于x>0时,[*]可知f(x)在[0,+∞)上单调递增。又由于f(0)=0,可知x>0时,f(x)>0,也即x>ln(1+x)。 再令[*]由于x>0时[*]可知g(x)在[0,+∞)上单调递增。又由于g(0)=0,可知x>0时,g(x)>0,也即[*] 方法二:设f(x)=ln(1+x),[*]显然f(x)在[*]上满足拉格朗日中值定理的条件, [*] 结论得证。 (Ⅱ)设[*] 先证数列{a
n
)单调递减。 [*] 利用(I)的结论可以得到[*]故a
n+1
n,即数列{a
n
}单调递减。 再证数列{a
n
}有下界。 [*] 得到数列{a
n
}有下界。利用单调递减且有下界数列必收敛得到{a
n
}收敛。
解析
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考研数学一
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