2. 考研
  3. 已知连续函数f(x)满足f(x)－∫0xf(x－t)dt－dudv＝x2，其中D＝{(u，v)｜u2＋v2≤x2}(x≥0)，则f(x)＝________________．

已知连续函数f(x)满足f(x)－∫0xf(x－t)dt－dudv＝x2，其中D＝{(u，v)｜u2＋v2≤x2}(x≥0)，则f(x)＝________________．

admin2021-03-16  59
问题 已知连续函数f(x)满足f(x)－∫0xf(x－t)dt－dudv＝x2，其中D＝{(u，v)｜u2＋v2≤x2}(x≥0)，则f(x)＝________________．
选项
答案[*]
解析
两边求导得
f’(x)－f(x)－2∫0xf(u)du＝2x，
再求导得    f"(x)－f’(x)－2f(x)＝2，
特征方程为    λ2－λ－2＝0．
解得特征值为λ1＝－1，λ2＝2，
通解为f(x)＝C1e－x＋C2e2x－1，
由f(0)＝0，f’(0)＝0得解得C1＝
故f(x)＝
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考研数学二

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