(Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(χ),求证:χ=0是y=f(χ)的极大值点. (Ⅱ)设F(χ,y)在(χ0,y0)某邻域有连续的二阶偏导数,且F(χ0,y0)=F′χ(χ0,y0)=0,F′y(χ0,y0)>0,F〞χχ(χ0,y0)<0

admin2016-07-20  34

问题 (Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(χ),求证:χ=0是y=f(χ)的极大值点.
    (Ⅱ)设F(χ,y)在(χ0,y0)某邻域有连续的二阶偏导数,且F(χ0,y0)=F′χ0,y0)=0,F′y0,y0)>0,F〞χχ0,y0)<0.由方程F(χ,y)=0在χ0的某邻域确定的隐函数y=y(χ),它有连续的二阶导,且y(χ0)=y0,求证y(χ)以χ=χ0为极小值点.

选项

答案(Ⅰ)先求y(0):由χ=arctant知,χ=0[*]=0,χ>0(<0)[*]t>0(<0).由y=ln(1-t2)-siny知,χ=0[*]y=-siny[*]y=0(y+siny[*]).因此y(0)=0,下面求[*]并判断它,在χ=0邻域的正负号. 为求[*],需先求[*].由参数力 [*] 其中δ=0是充分小的数.因此χ=0是y=f(χ)的极大值点. (Ⅱ)由隐函数求导法知y′(χ)满足 [*] 令χ=χ0,相应地y=y0,由F′χ0,y0)=0,F′y0,y0)≠0得y′(χ0)=0.将上式再对χ求导,并注意y=y(χ)即得 [*] 再令χ=χ0,相应地y=y0,y′(χ0)=0,得 [*] 因此χ=χ0是y=y(χ)的极小值点.

解析
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