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(Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(χ),求证:χ=0是y=f(χ)的极大值点. (Ⅱ)设F(χ,y)在(χ0,y0)某邻域有连续的二阶偏导数,且F(χ0,y0)=F′χ(χ0,y0)=0,F′y(χ0,y0)>0,F〞χχ(χ0,y0)<0
(Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(χ),求证:χ=0是y=f(χ)的极大值点. (Ⅱ)设F(χ,y)在(χ0,y0)某邻域有连续的二阶偏导数,且F(χ0,y0)=F′χ(χ0,y0)=0,F′y(χ0,y0)>0,F〞χχ(χ0,y0)<0
admin
2016-07-20
55
问题
(Ⅰ)已知由参数方程
确定了可导函数y=f(χ),求证:χ=0是y=f(χ)的极大值点.
(Ⅱ)设F(χ,y)在(χ
0
,y
0
)某邻域有连续的二阶偏导数,且F(χ
0
,y
0
)=F′
χ
(χ
0
,y
0
)=0,F′
y
(χ
0
,y
0
)>0,F〞
χχ
(χ
0
,y
0
)<0.由方程F(χ,y)=0在χ
0
的某邻域确定的隐函数y=y(χ),它有连续的二阶导,且y(χ
0
)=y
0
,求证y(χ)以χ=χ
0
为极小值点.
选项
答案
(Ⅰ)先求y(0):由χ=arctant知,χ=0[*]=0,χ>0(<0)[*]t>0(<0).由y=ln(1-t
2
)-siny知,χ=0[*]y=-siny[*]y=0(y+siny[*]).因此y(0)=0,下面求[*]并判断它,在χ=0邻域的正负号. 为求[*],需先求[*].由参数力 [*] 其中δ=0是充分小的数.因此χ=0是y=f(χ)的极大值点. (Ⅱ)由隐函数求导法知y′(χ)满足 [*] 令χ=χ
0
,相应地y=y
0
,由F′
χ
(χ
0
,y
0
)=0,F′
y
(χ
0
,y
0
)≠0得y′(χ
0
)=0.将上式再对χ求导,并注意y=y(χ)即得 [*] 再令χ=χ
0
,相应地y=y
0
,y′(χ
0
)=0,得 [*] 因此χ=χ
0
是y=y(χ)的极小值点.
解析
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0
考研数学一
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