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  3. 齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠0，使得AB＝0，则( )．

齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠0，使得AB＝0，则( )．

admin2020-06-05  54
问题 齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠0，使得AB＝0，则(    )．
选项 A、λ＝﹣2且｜B｜＝0
B、λ＝﹣2且｜B｜≠0
C、λ＝1且｜B｜＝0
D、λ＝1且｜B｜≠0
答案C
解析 将矩阵B按列分块，则由题设条件有
AB＝A(β1，β2，β3)＝(Aβ1，Aβ2，Aβ3)＝0
即Aβj＝0(j＝1，2，3)，这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Ax＝0的解．又由B≠0，知齐次线性方程组Ax＝0存在非零解，从而R(A)﹤3．考虑到A为3阶方阵，故有

即λ＝1，排除(A)，(B)．
若｜B｜≠0，则矩阵B可逆．以B﹣1右乘AB＝0，得ABB﹣1＝0B﹣1，即A＝0．这与A为非零矩阵矛盾，(D)不正确．
事实上，由于A为非零矩阵，那么R(A)﹥1，进而Rs＝3－R(A)﹤3．又由AB＝0可知B的列向量是齐次线性方程组Ax＝0的解，故而R(B)≤Rs﹤3，于是｜B｜＝0．或将AB＝0两边取转置，得BTAT＝0．由A是非零矩阵可知，齐次线性方程组BTx＝0有非零解，从而方阵BT为降秩矩阵，即｜BT｜＝｜B｜＝0．
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考研数学一

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