2. 考研
  3. 证明：二次型f＝xTAx在｜x｜＝1时的最大值为对称阵A的最大特征值．

证明：二次型f＝xTAx在｜x｜＝1时的最大值为对称阵A的最大特征值．

admin2020-06-05  51
问题 证明：二次型f＝xTAx在｜x｜＝1时的最大值为对称阵A的最大特征值．
选项
答案设λ1≥λ2≥…≥λn为矩阵A的n个特征值，由于对称阵一定可正交对角化，故存在正交矩阵P＝(p1，p2，…，pn)，使得PTAP＝diag(λ1，λ2，…，λn)＝[*]，并且P的第i个列向量pi是对应于特征值λi的单位特征向量．作正交变换x＝Py，其中x＝(x1，x2，…，xn)T，y＝(y1，y2，…，yn)T，则 ｜｜x｜｜2＝xTx＝yTPTPy＝yTy＝｜｜y｜｜2 从而 [*] 另一方面，取y0＝e1＝(1，0，…，0)T，则｜｜y0｜｜＝｜｜e1｜｜＝1，令x0＝Py0，则｜｜x0｜｜＝1，且二次型f(x)在x0处的值为 f(x0)＝xTAx0＝y0TPTAPy0＝y0T[*]y0＝λ1 综上所述[*]
解析
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考研数学一

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