2. 考研
  3. 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф’(x)=φ(x)，Ф(0)=0． (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф’(x)=φ(x)，Ф(0)=0． (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

admin2023-01-06  47
问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф’(x)=φ(x)，Ф(0)=0．
    (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解；
    (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．
选项
答案(1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e一∫sin xdx[∫φ(x)ecos xse∫sin xdxdx+C] =ecos x[∫φ(x)ecos x．e一cos xdx+C] =ecos x[∫φ(x)dx+C]=ecos x[Ф(x)+C](其中C为任意常数)． (2)因为Ф’(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1， 又Ф(0)=0，于是Ф(x)=∫0xφ(t)dt 而Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫02πφ(t)dt，所以，当∫02πφ(t)dt=0时，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π为周期． 因此，当∫02πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．
解析
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考研数学二

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