当x→0时，tan(tanx)-sin(sinx)与xn是等价无穷小，则n=( )

admin2021-12-14 36

问题当x→0时，tan(tanx)-sin(sinx)与xⁿ是等价无穷小，则n=( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案C

解析当x→0时，有sin(sinx)=sinx-1/6sin³x+o(sin⁴x)=[x-1/6x³+o(x⁴)]-1/6[x+o(x²)]³+o(x⁴)=x-1/3x³+o(x⁴)，
tan(tanx)=tanx+1/3tan³x+o(tan⁴x)=[x+1/3x³+o(x⁴)]+1/3[x+o(x²)]³+o(x⁴)=x+1/3x³+o(x⁴)+1/3[x³+o(x⁴)]+o(x⁴)=x+2/3x³+o(x⁴)故tan(tanx)-sin(sinx)=[x+2/3x³+o(x⁴)]-[x-1/3x³+o(x⁴)]=x³+o(x⁴)。于是n=3，C正确。

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