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  3. 求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3，为标准形．

求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3，为标准形．

admin2022-01-17  69
问题 求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2-8x2x3，为标准形．
选项
答案二次型的矩阵是A=[*] 其特征多项式为｜λE-A｜=[*] 所以A的特征值是λ1=λ2=0，λ3=9． 对于是λ1=λ2=0，由(OE-A)x=0，即[*] 得到基础解系a1=(2，1，0)T，a2=(-2，0，1)T，即为属于特征值λ=0的特征 向量． 对于λ3=9，由(9E-A)x=0，即[*] 得到基础解系a3=(1，-2，2)T． 由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对a1，a2正交化． β1=a1=(2，1，0)T 把β1，β2，a3单位化，有[*] 那么经正交变换[*]，所以二次型f化为标准形f=9y32．
解析
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考研数学二

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