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设f(χ)在[a,b]上连续,任取χi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…,n),证明:存在ξ∈[a,b],使得k1f(χ1)+k2f(χ2)+…+knf(χn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ).
设f(χ)在[a,b]上连续,任取χi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…,n),证明:存在ξ∈[a,b],使得k1f(χ1)+k2f(χ2)+…+knf(χn)=(k1+k2+…+kn)f(ξ).
admin
2017-09-15
55
问题
设f(χ)在[a,b]上连续,任取χ
i
∈[a,b](i=1,2,…,n),任取k
i
>0(i=1,2,…,n),证明:存在ξ∈[a,b],使得k
1
f(χ
1
)+k
2
f(χ
2
)+…+k
n
f(χ
n
)=(k
1
+k
2
+…+k
n
)f(ξ).
选项
答案
因为f(χ)在[a,b]上连续,所以f(χ)在[a,b]上取到最小值m和最大值M, 显然有m≤f(χ
i
)≤M(i=1,2,…,n), 注意到k
i
>0(i=1,2,…,n),所以有k
i
m≤k
i
f(χ
i
)≤k
i
M(i=1,2,…,n), 同向不等式相加,得 (k
1
+k
2
+…+k
n
)m≤k
1
f(χ
1
)+k
2
f(χ
2
)+…+k
n
f(χ
n
)≤(k
1
+k
2
+…+k
n
)M, 即m≤[*]≤M, 由介值定理,存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=[*] 即k
1
f(χ
1
)+k
2
f(χ
2
)+…+k
n
f(χ
n
)=(k
1
+k
2
+…+k
n
)f(ξ).
解析
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考研数学二
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