2. 考研
  3. [2011年] 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)=g′(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．

[2011年] 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)=g′(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．

admin2019-04-05  53
问题 [2011年]  设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)=g′(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是(    )．
选项 A、f″(0)＜0，g″(0)>0
B、f″(0)＜0，g″(0)＜0
C、f″(0)＞0，g″(0)>0
D、f″(0)＞0，g″(0)＜0
答案A
解析 先由题设条件求出函数的二阶导数，再利用命题1．4．3．2判别之．
=f′(x)g(y)，=f(x)g′(y)，=f″(x)g (y)，
=f′(x)g′(y)，=f(x)g″(y)．
由于f′(0)=0，g′(0)=0，有=0，即点(0，0)为z=f(x)g(y)的一个驻点．在点(0，0)处，有
A==f(0)g(0)，B==f′(0)g′(0)=0，C==f(0)g″(0)，
则    B2一AC=0一f″(0)g(0)f(0)g″(0)．
    为使z=f(x)g(y)在(0，0)处取得极小值应有B2－AC＜0，且A＞0，即f″(0)g(0)＞0，因g(0)＜0，故f″(0)＜0．
    为使B2一AC=－f″(0)g(0)f(0)g″(0)＜0，因f(0)＞0，g(0)＜0，f″(0)＜0，故g″(0)＞0．
综上得f″(0)＜0，g″(0)＞0．仅(A)入选．
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考研数学二

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