已知4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．又设β=α1+α2+α3+α4，求AX=β的通解．

admin2018-06-27 135

问题已知4阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃，α₄)，其中α₂，α₃，α₄线性无关，α₁=2α₂-α₃．又设β=α₁+α₂+α₃+α₄，求AX=β的通解．

选项

答案方法一AX=β用向量方程形式写出为x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=β，其导出组为x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=0．条件β=α₁+α₂+α₃+α₄说明(1，1，1，1)^T是AX=β的一个特解．α₁=2α₂-α₃说明(1，-2，1，0)^T是导出组的一个非零解．又从α₂，α₃，α₄线性无关和α₁=2α₂-α₃．得到r(A)=3，从而导出组的基础解系只含4-r(A)=1个解，从而(1，-2，1，0)^T为基础解系．AX=β的通解为 (1，1，1，1)^T+c(1，-2，1，0)^T，c可取任意数．方法二把α₁=2α₂-α₃和β=α₁+α₂+α₃+α₄代入x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=β，得 x₁(2α₂-α₃)+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=2α₂-α₃+α₂+α₃+α₄，整理得 (2x₁+x₂)α₂+(-x₁+x₃)α₃+x₄α₄=3α₂+α₄，由于α₂，α₃，α₄线性无关，得同解方程组 [*] 解此方程组 [*] 得通解 (0，3，0，1)^T+c(1，-2，1，0)^T，c可取任意数．

解析

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考研数学二

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