已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．

admin2019-06-28 57

问题已知α₁，α₂，…，α_s线性无关，β可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α₁，α₂，…，α_s，β中任意s个向量线性无关．

选项

答案用反证法．设α₁，α₂，…，α_s，β中存在s个向量α₁，α₂，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s，β线性相关，则存在不全为零的常数k₁，k₂，…，k_i-1，k_i+1，…，k_s，k使得 k₁α₁+…+k_i-1α_i-1+k_i+1α_i+1+…+k_sα_s+kβ=0． ① 另一方面，由题设 β=ι₁α₁+ι₂α₂+…+ι_iα_i+…+ι_sα_s，其中ι_i≠0，i=1，2，…，s．代入①式，得 (k₁+kι₁)α₁+(k₂+kι₂)α₂+…+(k_i-1+kι_i-1)α_i-1+kι_iα_i+(k_i+1+kι_i+1)α_i+1+…+(k_s+kι_s)α_s=0，因已知α₁，α₂，…，α_s线性无关，从而有kι_i=0，ι_i≠0，故k=0，从而由①式得k₁，k₂，…，k_i-1，k_i+1，…，k_s均为0，矛盾．故α₁，α₂，…，α_s，β中任意s个向量线性无关．

解析

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考研数学二

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已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表出式的系数全不为零，证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量线性无关．

考研数学二

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已知α1=(1，一1，1)T，α2=(1，t，一1)T，α3=(t，1，2)T，β=(4，t2，一4)T，若β可由向量组α1，α2，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式。

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