设f(χ)在[1，＋∞)上连续，若曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)＝[t2f(t)－f(1)]且f(2)＝，求函数y＝f(χ)的表达式．

admin2014-12-09 103

问题设f(χ)在[1，＋∞)上连续，若曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)＝

[t²f(t)－f(1)]且f(2)＝

，求函数y＝f(χ)的表达式．

选项

答案由旋转体的体积公式得 V(t)＝π∫₁^tf²(u)du，由已知条件得[*]，即3∫₁^tf²(u)du＝t²f(t)－f(1)．等式两边对t求导得 3f²(t)＝2tf(t)＋t²f′(t) 于是有χ²y′＝3y²－2χy，变形得[*]．令[*]＝u，则有χ[*]＝3u(u－1)，分离变量并两边积分得 [*]＝Cχ³，即y－χ＝Cχ³y 由f(2)[*]得C＝－1，故f(χ)＝[*]．

解析

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考研数学二

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设f(χ)在[1，＋∞)上连续，若曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)＝[t2f(t)－f(1)]且f(2)＝，求函数y＝f(χ)的表达式．

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