已知齐次方程组(Ⅰ)解都满足方程χ1＋χ2＋χ3＝0，求a和方程组的通解．

admin2016-10-21 58

问题已知齐次方程组(Ⅰ)

解都满足方程χ₁＋χ₂＋χ₃＝0，求a和方程组的通解．

选项

答案求出(Ⅰ)的解，代入χ₁＋χ₂＋χ₃＝0，决定a．用矩阵消元法，设系数矩阵为A， A＝[*]＝B．当a＝0时，(Ⅰ)和方程χ₁＋χ₂＋χ₄＝0同解，以χ₂，χ₃，χ₄为自由未知量求出一个基础解系 η₁＝(－1，1，0，0)^T，η₂＝(0，0，1，O)^T，η₃＝(－1，0，0，1)^T．其中η₁，η₂都不是χ₁＋χ₂＋χ₃＝0，的解，因此a＝0不合要求．当a≠0时，继续对B进行初等行变换 [*] 以χ₄为自由未知量，得基础解系η＝(a－1，－a，[*]，1)^T．代入χ₁＋χ₂＋χ₃＝0， (a－1)＋(－a)＋[*]＝0，求得a＝1／2．即当a＝1／2时，η适合χ₁＋χ₂＋χ₃＝0，从而(Ⅰ)的解都满足χ₁＋χ₂＋χ₃＝0．当a≠1／2时，η不满足χ₁＋χ₂＋χ₃＝0．得a＝1／2为所求．此时，方程组的通解为c(－1／2，－1／2，1，1)^T，c可取任何常数．

解析

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考研数学二

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