如图1-14-2所示，区域D是由曲线y=x3，y=一1，y=1及y轴围成的封闭图形，D1为D位于第一象限的图形，D2为D位于第三象限的图形，则以D为底，以z=x3+y为顶的曲顶柱体体积为( )．

admin2021-08-02 72

问题

如图1-14-2所示，区域D是由曲线y=x³，y=一1，y=1及y轴围成的封闭图形，D₁为D位于第一象限的图形，D₂为D位于第三象限的图形，则以D为底，以z=x³+y为顶的曲顶柱体体积为( )．

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析由二重积分的定义可知

当二重积分存在时，它为一个确定的常数，它的值依赖于被积函数f(x,y)与积分区域D，而与积分变量无关，即

由二重积分的几何意义可知，当f(x,y)≥0时，二重积分

等于以D为底，以z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积，在D₂上，z=f(x,y)=x³+y＜0，可知(A)不正确.又由于在D₁上，
z=f(x，y)=x³+y＞0，
可知所给曲顶柱体的体积为

因此(D)正确．
(B)的错误是将y=x³代入被积函数．二重积分中被积函数f(x，y)中(x，y)要取遍D的所有点，而非仅限于D的边界曲线．

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考研数学二

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