在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2016-01-11 69

问题在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案曲线y=y(x)在点(x，y)处的法线方程是 [*] 令Y=0，得Q点坐标为(x+yy’，0)． [*] 又曲线y=y(x)在点(1，1)处的切线与x轴平行，从而x=1时，y=1，y’=0．令y’=p，则[*]代入方程并整理得 [*] 即[*]=C₁y．由初始条件y’(1)=0，得C₁=1．[*]积分得archy=±x+C₂，由y(1)=1，有C₂=±1，从而所求曲线方程为y=ch(x一1)．

解析

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