2. 考研
  3. 若函数ψ(x)及φ(x)是n阶可微的，且ψ(k)(x0)=φ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，ψ(n)(x)＞φ(n)(x)．试证：当x＞x0时，ψ(x)＞φ(x)．

若函数ψ(x)及φ(x)是n阶可微的，且ψ(k)(x0)=φ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，ψ(n)(x)＞φ(n)(x)．试证：当x＞x0时，ψ(x)＞φ(x)．

admin2019-06-28  49
问题 若函数ψ(x)及φ(x)是n阶可微的，且ψ(k)(x0)=φ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，ψ(n)(x)＞φ(n)(x)．试证：当x＞x0时，ψ(x)＞φ(x)．
选项
答案令u(n-1)(x)=φ(n-1)(x)一ψ(n-1)(x)． 在[x0，x]上用微分中值定理得 u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)=u(n)(ξ).(x—x0)，x0＜ξ＜x． 又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)一un-1(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(n-1)(x)＞0，即当 x＞x0时，φ(n-1)(x)＞ψ(n-1)(x)． 同理u(n-2)(x)=φ(n-2)(x)一ψ(n-2)(x)＞0． 归纳有u(n-3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．
解析
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考研数学二

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