设厂(z)在[1,+∞)上连续且可导,若曲线y=f(χ),直线χ=1,χ-t(t>1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)=[t2f(t)-f(1)],且f(2)=,求函数y=f(χ)的表达式.

admin2017-03-06  42

问题 设厂(z)在[1,+∞)上连续且可导,若曲线y=f(χ),直线χ=1,χ-t(t>1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)=[t2f(t)-f(1)],且f(2)=,求函数y=f(χ)的表达式.

选项

答案由旋转体的体积公式得 V(t)=π∫1tf(u)du 由已知条件得π∫1tf2(u)du=[*][t2f(t)-f(1)],即3∫1tf2(u)du=t2f(t)-f(1). 等式两边对t求导得 3f2(t)=2tf(t)+t2f′(t), 于是有χ2y′=3y2-2χy,变形得[*] 令[*]=u,则有χ[*]=3u(u-1),分离变量并两边积分得 [*]=Cχ3,即y-χ=Cχ3y, 由f(2)=[*]得C=-1,故f(χ)=[*].

解析
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