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  3. 设函数f(x)连续，证明：∫0af(x)dx∫xa(y)dy=[∫0af(x)dx]2.

设函数f(x)连续，证明：∫0af(x)dx∫xa(y)dy=[∫0af(x)dx]2.

admin2017-10-25  44
问题 设函数f(x)连续，证明：∫0af(x)dx∫xa(y)dy=[∫0af(x)dx]2.
选项
答案如图1-3所示， ∫0af(x)dx∫xaf(y)dy=∫0a∫xaf(x)f(y)dydx =∫∫D1(x)f(y)dydx(由对称性) =[*]∫0a∫0af(x)f(y)dydx =[*]∫0af(x)dx∫0af(y)dy =[*][∫0af(x)dx]2． [*]
解析 所证等式的右边是定积分，左边是累次积分，而且发现式子左边无论是先对y还是先对x积分，里层的积分均无法积出，因此要另辟蹊径．若把左边看成二重积分：
    ∫0a∫xaf(x)f(y)dydx，
右边亦视为二重积分：
    ∫0a∫0af(x)f(y)dydx，
则显然就能找到它们之间的联系．
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