已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋2x22＋ax32＋2x1x2经可逆线性变换x＝Py化为g(y1，y2，y3)＝y12＋y22＋2y2y3，则( )

admin2022-06-09 50

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)＝2x₁²＋2x₂²＋ax₃²＋2x₁x₂经可逆线性变换x＝Py化为g(y₁，y₂，y₃)＝y₁²＋y₂²＋2y₂y₃，则( )

选项 A、a＝0
B、a＜0
C、a＞1
D、a＞0

答案B

解析二次型的矩阵分别为A＝

，B＝

由已知，A与B合同，实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是它们有相同的正、负惯性指数，由
｜E－B｜＝(λ－1)(λ²－λ－1)＝0，
得B的特征值为λ₁＝1，λ₂＝

＜0，λ₃＝

由｜λE－A｜＝(λ－a)(λ－3)(λ－1)＝0，
得A的特征值为μ₁＝a，μ₂＝3，μ₃＝1，故a＜0，B正确

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考研数学二

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