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已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4,可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4,求a,b的值和正交矩阵P。
已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4,可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4,求a,b的值和正交矩阵P。
admin
2021-01-15
8
问题
已知二次曲面方程x
2
+ay
2
+z
2
+2bxy+2xz+2yz=4,可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程η
2
+4ξ
2
=4,求a,b的值和正交矩阵P。
选项
答案
经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似。由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为 [*] 则存在正交矩阵P,使得 P
-1
AP=[*]B, 即A与B相似。 由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A有特征值0,1,4。从而, [*] 当λ
1
=0时,方程组(0E—A)x=0的基础解系为α
1
=(1,0,一1)
T
。 当λ
2
=1时,方程组(E—A)x=0的基础解系为α
2
=(1,一1,1)
T
。 当λ
3
=4时,方程组(4E—A)x=0的基础解系为α
3
=(1,2,1)
T
。 由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,故只需将α
1
,α
2
,α
3
单位化,即 [*] 因此所求正交矩阵为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CBq4777K
0
考研数学一
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