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  3. 已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4，求a，b的值和正交矩阵P。

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4，求a，b的值和正交矩阵P。

admin2021-01-15  10
问题 已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4，求a，b的值和正交矩阵P。
选项
答案经正交变换化二次型为标准形，二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似。由题设知，二次曲面方程左端二次型对应矩阵为 [*] 则存在正交矩阵P，使得 P－1AP=[*]B， 即A与B相似。 由相似矩阵有相同的特征值，知矩阵A有特征值0，1，4。从而， [*] 当λ1=0时，方程组(0E—A)x=0的基础解系为α1=(1，0，一1)T。 当λ2=1时，方程组(E—A)x=0的基础解系为α2=(1，一1，1)T。 当λ3=4时，方程组(4E—A)x=0的基础解系为α3=(1，2，1)T。 由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，故只需将α1，α2，α3单位化，即 [*] 因此所求正交矩阵为 [*]
解析
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考研数学一

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