2. 考研
  3. 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． (1)证明α，Aα线性无关； (2)若A2α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． (1)证明α，Aα线性无关； (2)若A2α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

admin2016-10-13  54
问题 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．
  (1)证明α，Aα线性无关；
  (2)若A2α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；
选项
答案(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，设k2≠0， 则Aα=一[*]，矛盾，所以α，Aα线性无关． (2)由A2α+Aα一6α=0，得(A2+A—6E)α=0， 因为α≠0，所以r(A2+A一6E)＜2，从而｜A2+A—6E｜=0，即 ｜3E+A｜．｜2E—A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E—A｜=0． 若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E—A)α=0，得 (2E—A)α=，即Aα=2α，矛盾； 若｜2E—A｜≠0，则2E—A可逆，由(2E—A)(3E+A)α=0，得 (3E+A)α=0，即Aα=一3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E—A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值一3，2，故A可对角化．
解析
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考研数学一

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