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一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y1=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成。 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103kg／m3
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y1=2y(y≥1／2)与x2+y2=1(y≤1／2)连接而成。 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103kg／m3
admin
2019-08-01
59
问题
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x
2
+y
1
=2y(y≥1／2)与x
2
+y
2
=1(y≤1／2)连接而成。
若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s
2
，水的密度为10
3
kg／m
3
)
选项
答案
容器内侧曲线可表示为 [*] 在y轴上任意取一个微元[y，y+dy]，对应容器的小薄片的水的重量为ρgπf
2
(y)dy(ρ为水的密度)，它升高的距离为d(y)=2－y。将此薄片抽出所作的功为 dW=ρgπf
2
(y)(2－y)dy， 因此将容器中的水全部抽出所作的功为 W=∫
－1
2
ρgπf
2
(y)(2－y)dy=ρgπ[∫
－1
1／2
(1－y
2
)(2－y)dy+∫
1／2
2
(2y－y
2
)(2－y)dy]， 其中 ∫
1／2
2
(2y－y
2
)(2－y)dy=∫
1／2
2
[1－(1－y)
2
][1+(1－y)]dy [*]∫
－1
1／2
(1－t
2
)(1+t)dt=∫
－1
1／2
(1－y
2
)(1+y)dy。 再代入上式可得 W=ρgπ[∫
－1
1／2
(1－y
2
)(2－y)dy+∫
－1
1／2
(1－y
2
)(1+y)dy] =ρgπ∫
－1
1／2
3(1－y
2
)dy=ρgπ．3([*]y
3
|
－1
1／2
) [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CJN4777K
0
考研数学二
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