解下列微分方程： (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解； (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

admin2021-11-09 61

问题解下列微分方程：
(Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件

的特解；
(Ⅱ)y〞＋a²y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数；
(Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

选项

答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程为λ²－7λ＋12＝0，它有两个互异的实根：λ₁＝3，λ₂＝4，所以，其通解为[*] 由于0不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式y^*(χ)＝Aχ＋B．代入方程，可得A＝[*]，B＝[*]，所以，原方程的通解为y(χ)＝[*] 代入初始条件，则得[*] 因此所求的特解为y(χ)＝[*] (Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai，所以其通解为[*](χ)＝C₁cosaχ＋C₂sinaχ．求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbχ＋Bsinbχ，将其代入原方程，则得 A＝[*]，B＝0．所以，通解为y(χ)＝[*]cosbχ＋C₁cosaχ＋C₂sinaχ，其中C₁，C₂为任意常数． ②当a＝b时，特解的形式应为Aχcosaχ＋Bχsinaχ，代入原方程，则得 A＝0．B＝[*]．原方程的通解为y(χ)＝[*]χsinaχ＋C₁cosaχ＋C₂sinaχ，其中C₁，C₂为任意常数． (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ³＋λ²＋λ＋1＝0，分解得(λ＋1)(λ²＋1)＝0，其特征根为λ₁＝－1，λ_2，3＝±i，所以方程的通解为 y(χ)＝C₁e^－χ＋C₂cosχ＋C₃sinχ，其中C₁，C₂，C₃为任意常数．

解析

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考研数学二

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解下列微分方程： (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解； (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

考研数学二

设矩阵试判断A和B是否相似，若相似，求出可逆矩阵X，使得X-1AX=B·

设，f具有连续的二阶导数，则=．

设存在，则常数k=．

设f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+.....+anln(1+nx)，其中a1,a2,....an为常数，且对一切x有|f(x)|≤|ex-1|.证明：|a1+2a2+....+nan|≤1.

设A为n阶矩阵，A11≠0.证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

设A,B,C,D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n.设ξ1,ξ2,...,ξr与η1,η2,...,ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1,ξ2,...,ξr，η1,η2,...,ηs线性无关。

求函数f(x，y，z)＝x＋y－z2＋5在区域D：x2＋y2＋z2≤2上的最大值和最小值。

若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是()．

向量组α1，α2，…，αm线性相关的充分条件是

设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

根据党的十九届四中全会，下列属于“坚持和完善人民当家作主制度体系，发展社会主义民主政治”要求的是()。①巩固和发展最广泛的爱国统一战线②健全为人民执政、靠人民执政各项制度③健全充满活力的基层群众自治制度

治疗急症时，宜选用(　　)

治疗胃痛脾胃虚寒证，应首选()

急性肾小球肾炎最常见的并发症有()

某排污口附近河段的平水期平均流量为138m3／s，其水域规模为（）。

有轻度车辙、龟裂，磨耗层损坏较小的旧沥青路面最适合采用()修复。

中国古代官员普遍好读书，这是一个悠久的良性传统。在古代，官员的读书是＿＿的现象，大凡为官一生，“致仕”(退休)时一般也要“刻部稿”，期盼给后代留下一点＿＿。依次填入画横线部分最恰当的一项是()。

你分配给小李和小王一项工作。他们俩各自负责一部分，但是最后呈交上来他们两个人的结合点有冲突。而且彼此都不愿意再进行修改，你怎么办?

Accordingtothemostrecentresearchonparenting,caretakerstendtousethreestrategiesfordiscipliningchildren.Power

解下列微分方程： (Ⅰ)y〞－7y′＋12y＝χ满足初始条件的特解； (Ⅱ)y〞＋a2y＝8cosbχ的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)y″′＋y〞＋y′＋y＝0的通解．

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设f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+.....+anln(1+nx)，其中a1,a2,....an为常数，且对一切x有|f(x)|≤|ex-1|.证明：|a1+2a2+....+nan|≤1.

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你分配给小李和小王一项工作。他们俩各自负责一部分，但是最后呈交上来他们两个人的结合点有冲突。而且彼此都不愿意再进行修改，你怎么办?

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治疗急症时，宜选用(　　)