(95年)假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a) =g(b)=0，试证： (1)在开区间(a，b)内g(x)≠0； (2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

admin2017-04-20 100

问题 (95年)假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)
=g(b)=0，试证：
(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0；
(2)在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

选项

答案(1)反证法．若[*]∈(a，b)，使g(c)=0，则由罗尔定理知[*]∈(a，c)，ξ₁∈(c，b)，使g’(ξ₁)=g’(ξ₂)=0，从而[*]∈(ξ₁，ξ₂)．使g"(ξ)=0，这与题设g"(x)≠0矛盾． (2)令φ(x)=f(x)g’(x)一f’(x)g(x) 由f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0知，φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理知[*]∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即 f

解析

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考研数学一

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设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a＋b)≤f(a)＋f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．
设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：(I)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝g(η)；(Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝g〞(ξ)．
在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处在曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在(1，1)处在切线与x轴平行．
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