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  3. [2003年] 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 {[f(x，y)-xy]／(x2+y2)2}=1， ① 则( )．

[2003年] 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 {[f(x，y)-xy]／(x2+y2)2}=1， ① 则( )．

admin2019-05-06  40
问题 [2003年]  已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且
{[f(x，y)-xy]／(x2+y2)2}=1，    ①
则(    )．
选项 A、点(0，0)不是f(x，y)的极值点
B、点(0，0)是f(x，y)的极大值点
C、点(0，0)是f(x，y)的极小值点
D、根据所给条件无法判别点(0，0)是否为f(x，y)的极值点
答案A
解析 由极限与无穷小的关系知，在点(0，0)充分小的邻域内有

即    f(x，y)=xy+(1+α)(x2+y2)2，    ③
其中．又由式①及(x2+y2)=0得到
即
于是f(x，y)-xy=(1+α)(x2+y2)2，  即  f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2，
亦即    f(x，y)=f(x，y)=f(0，0)=xy+(x2+y2)2+o((x2+y2)2)
=xy+(x2+x2)2+o(r2)  (r=x2+y2 →0)．
当y=x时，f(x，y)—f(0，0)=x2+(x2+y2)2+o(r2)＞0  (0＜r＜σ)．
当y=一x时，f(x，y)一f(0，0)=一x2+(x2+x2)2+o(r2)＜0 (0＜r＜σ)，其中σ是充分小的正数．可知，(0，0)不是f(x，y)的极值点．仅A入选．[img][/img]
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