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  3. 设函数z=(1+ey)cos x—yey，则函数z=f(x，y) ( )

设函数z=(1+ey)cos x—yey，则函数z=f(x，y) ( )

admin2020-03-01  62
问题 设函数z=(1+ey)cos x—yey，则函数z=f(x，y)    (    )
选项 A、无极值点
B、有有限个极值点
C、有无穷多个极大值点
D、有无穷多个极小值点
答案C
解析 本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷．
    由得驻点为(kπ，coskπ一1)，k=0，±1，±2，…，
又z"xx=一(1+ey)cos x，z"xy=一esin x，z"yy=ey(cosx—2一y)．
    (1)当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而
    A=z"xx(kπ，0)=一2，B=z"xy(kπ，0)=0，C=z"yy(kπ，0)=一1，
于是B2一AC=一2＜0，而A=一2＜0，即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值；
    (2)当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，一2)，此时
    A=z"xx(kπ，一2)=1+e一2，B=z"xy(kπ，一2)=0，C=z"yy(kπ，一2)=一e一2，
于是B2一AC=(1+e一2)．e一2＞0，即驻点(kπ，一2)为非极值点．
  综上所述，故选(C)．
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考研数学二

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