设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,3;n>3)是n维实向量;且α1,α2,α3线性无关,已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,判断向量组β,α1,α2,α3的线性相关性.

admin2021-12-15  30

问题 设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,3;n>3)是n维实向量;且α1,α2,α3线性无关,已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组

的非零解向量,判断向量组β,α1,α2,α3的线性相关性.

选项

答案依题设,αiTβ=0(i=1,2,3),即βTαi=0,又β≠0,因此,βTβ≠0,于是设一组数k1,k2,k3,k,使得 k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0, k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0, 两边左乘βT,即有 k1βTα1+k2βTα2+k3βTα3+kβTβ=kβTβ=0, 得k=0,从而有 k1α1+k2α2+k3α3=0, 由于α1,α2,α3线性无关,则必有k1=k2=k3=0,由此知α1,α2,α3,β线性无关.

解析
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