2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=g″(ξ)。

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=g″(ξ)。

admin2018-12-29  45
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=g″(ξ)。
选项
答案构造辅助函数F(x)=f(x)—g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得 f(x1)=M=[*]，g(x2)=M=[*]。 若x1=x2，令C=x1，则F(c)=0。 若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)—g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)—g(x2)≤0，从而存在c∈[x1，x2][*](a，b)，使F(c)=0。 在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得 f′(ξ1)=f′(ξ2)=0， 再对f′(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使f″(ξ)=0，即 f″(ξ)=g″(ξ)。
解析
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考研数学一

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