(2008年试题，21)求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值．

admin2019-06-09 56

问题 (2008年试题，21)求函数u=x²+y²+z²在约束条件z=x²+y²和x+y+z=4下的最大值和最小值．

选项

答案令F(x，y，z)=x²+y²+z²+λ₁(x²+y²一z)+λ₂(x+y+z一4)，分别对各参数求导并令为0，得到如下方程组[*]即有u_max=(一2)²+(一2)²+8²=72;u_min=1²+1²+2²=6[评注]先构造拉格朗日函数F(x，y，z，λ，u)=f(x，y，z)+λφ(x，y，z)+uφ(x，y，z)，解出极值点后，直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值(或最值)

解析

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设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0。证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点。
函数y=与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)。计算极限。
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设函数其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．(1)确定常数a，使得f(x)在x=0处连续；(2)求f’(x)；(3)讨论f’(x)在x=0处的连续性．
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