2. 自考
  3. A为m×n矩阵，秩为m；B为n×(n-m)矩阵，秩为n-m；又知AB=0，α是满足条件Aα=0的一个n维列向量，证明：存在唯一个n一m维列向量β使得α=Bβ．

A为m×n矩阵，秩为m；B为n×(n-m)矩阵，秩为n-m；又知AB=0，α是满足条件Aα=0的一个n维列向量，证明：存在唯一个n一m维列向量β使得α=Bβ．

admin2016-07-11  107
问题 A为m×n矩阵，秩为m；B为n×(n-m)矩阵，秩为n-m；又知AB=0，α是满足条件Aα=0的一个n维列向量，证明：存在唯一个n一m维列向量β使得α=Bβ．
选项
答案证明：B为n×(n—m)矩阵，且秩为n—m，故方程Bx=0只有零解，先假设Bx=a有解，假设Bx=α有两个不同解β1，β2，则有 Bβ1=α，Bβ2=α，故B(β1一β2)=0得β1=β2．故Bx=α在有解的情形只有唯一解． 下证Bx=α有解：由AB=0，A的秩为m，可知Ax=0的基础解系含n一m个解向量，而B的秩为n—m，这表示B的n—m个列向量即构成Ax=0的基础解系，设B的这n一m个列向量分别为α1，α2，…，αn-m，又Aα=0故可将α表示成α=k1α1+…+kn-mαn-m，令β=(k1，k2，…，kn-m)T． 即Bβ=(α1，α2…，αn-m)[*]=(k1α1+k2α2+…+kn-mαn-m)=α． 所以Bβ=α有解，即存在唯一的β使得Bβ=α，得证．
解析
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