2. 考研
  3. 设A，B为同阶方阵，(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

设A，B为同阶方阵，(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

admin2017-04-11  101
问题 设A，B为同阶方阵，(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
选项
答案(1)若A～B，那么存在可逆矩阵P，使P一1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE—P一1AP｜=｜P一1λEP—P一1AP｜=｜P一1(λE一A)P｜=｜P一1｜｜λE-A｜｜P｜=｜P一1｜｜P｜｜λE—A｜=｜λE-A｜，即A，B的特征多项式相等． (2)令[*]，那么｜λE—A｜=λ2=｜λE—B｜，但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使P一1AP=B=O．从而A=POP一1=O，矛盾． (3)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有[*]即存在可逆矩阵P，Q使[*]于是(PQ一1)一1A(PQ一1)=B．由PQ一1为可逆矩阵知，A与B相似．
解析 本题主要考查同阶方阵相似的定义，相似的必要非充分条件及两个实对称矩阵相似的充分必要条件．
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考研数学二

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