设A，B为两个n阶矩阵，且A的n个特征值两两互异．若A的特征向量恒为B的特征向量，则AB=BA．

admin2015-12-22 43

问题设A，B为两个n阶矩阵，且A的n个特征值两两互异．若A的特征向量恒为B的特征向量，则AB=BA．

选项

答案反复利用特征值、特征向量的定义，利用对角矩阵乘积可交换的性质证明AB=BA．证设X₁，X₂，…，X_n是A的分别属于其不同特征值λ₁，λ₂，…，λ_n的特征向量，则X₁，X₂，…，X_n线性无关，且AX_i=λ_iX_i，令 P=[X₁，X₂，…，X_n]，则 AP=[AX₁，AX₂，…，AX_n]=[λ₁X₁，λ₂X₂，…，λ_nX_n] [*] 由题设，可令BX_i=μ_iX_i(i=1，2，…，n)，则 [*] 于是 [*] 因P可逆，故由BAP=ABP得 BAPP^-1=ABPP^-1。即 AB=BA．

解析

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