已知二次型2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)可用正交变换化为y12＋2y22＋5y32，求a和所作正交变换．

admin2018-11-23 34

问题已知二次型2χ₁²＋3χ₂²＋3χ₃²＋2aχ₂χ₃(a＞0)可用正交变换化为y₁²＋2y₂²＋5y₃²，求a和所作正交变换．

选项

答案原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似． [*] 于是｜A｜＝｜B｜＝10．而｜A｜＝2(9－a²)，得a²＝4，a＝2． A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1： [*] 得(A－E)X＝0的同解方程组[*] 得属于1的一个特征向量η＝(0，1，－1)^T，单位化得γ₁＝(0，[*])．对于特征值2： [*] 得(A－2E)X＝0的同解方程组[*] 得属于2的一个单位特征向量γ₂(1，0，0)^T．对于特征值5： [*] 得(A－5E)X＝0的同解方程组[*] 得属于5的一个特征向η₃(0，1，1)^T，单位化γ₃＝(0，[*])^T．令Q＝(γ₁，γ₂，γ₃)，则正交变换X＝Q^Y把原二次型化为y₁²＋2y₂²＋5y₃²．

解析

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考研数学一

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已知二次型2χ12＋3χ22＋3χ32＋2aχ2χ3(a＞0)可用正交变换化为y12＋2y22＋5y32，求a和所作正交变换．

考研数学一

设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X，都有XTAX=0,A为反对称矩阵．

计算+y2dxdz+z2dxdy，其中∑为(x一a)2+(y一b)2+(z—c)2=R2的外侧．

设f(x，y)是定义在区域0≤x≤1，0≤y≤1上的二元连续函数，f(0，0)=-1，求极限

求，其中D是由y=x3，y=1，x=一1所围成的区域，f(u)是连续函数．

若二元函数f(x，y)在(x0，y0)处可微，则在(x0，y0)点下列结论中不一定成立的是

假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2

求由方程2xz一2xyz+ln(xyz)=0所确定的函数z=z(x，y)的全微分．

求极限

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(13年)设奇函数f(x)在[一1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明：(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；(Ⅱ)存在η∈(一1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1．

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